โยนเหรียญ หัว-ก้อย มิใช่ 50-50 | วรากรณ์ สามโกเศศ

เพราะมันมีแค่สองด้านคือหัวและก้อย เมื่อโยนเหรียญไปแล้วก็ต้องออกด้านใดด้านหนึ่งอย่างมีโอกาสเท่าๆ กัน แต่ความจริงแล้วมิใช่เช่นนั้น 

 มีการศึกษาเรื่องนี้อย่างจริงจังและพบว่ามันมิใช่โอกาส 50-50 ดังที่เคยเข้าใจกัน โดยมีด้านหนึ่งที่มีโอกาสหงายออกมากกว่าอีกด้าน คำถามคือเพราะเหตุใด และด้านใดที่มีโอกาสออกมากกว่า

ในภาษาอังกฤษมีคำว่า “fair coin” ซึ่งหมายถึงเหรียญ 2 ด้านซึ่งมีโอกาสเท่ากันที่จะหงายออกมา ในทางวิชาการสถิติมันเป็นเหรียญเชิงอุดมคติที่แสดงให้เห็นความหมายของคำว่า “ความป็นไปได้” ที่ง่ายที่สุด

กล่าวคือมันมี 2 ลักษณะที่อาจเกิดขึ้นได้คือ “หัว” หรือ “ก้อย” แต่มันหงายออกได้ด้านเดียว ดังนั้น โอกาสในการออก “หัว” หรือ “ก้อย” คือ 1 ใน 2 หรือมีความเป็นไปได้เท่ากับ 50% หรือ 0.5

เหรียญเชิงอุดมคตินี้ต้องเป็นเหรียญที่ไม่มีใครทำให้มันหนักด้านใดด้านหนึ่งเป็นพิเศษ จนมีโอกาสมากกว่าในการหงายด้านนั้น พูดง่าย ๆ ก็คือความเป็นไปได้ของการหงายไม่ใช่ 50-50 อีกต่อไป อย่างนี้เรียกว่า unfair coin

วิชาสถิติอาศัย “เหรียญวิเศษ” เช่นนี้ในการอธิบายเรื่องความเป็นไปได้อย่างง่ายๆ และก็เข้าใจกันว่าเหรียญต่างๆ ที่ไม่มีการถ่วงเป็นพิเศษนั้น เมื่อโยนจริงแล้วมันก็จะออกมาแบบ 50-50 คือทั้งก้อยและหัวมีความเป็นไปได้เท่ากัน 

 อย่างไรก็ดี มีนักคณิตศาสตร์เมื่อ 200 กว่าปีมาแล้วสงสัยว่าในโลกจริงมันเป็น 50-50 จริงหรือไม่ กล่าวคือมีด้านใดที่หงายออกมาบ่อยกว่าอีกด้านหรือไม่ การจะพิสูจน์เช่นนี้ได้ต้องมีการโยนเหรียญเป็นหมื่นเป็นแสนครั้ง หากโยนเพียงร้อยหรือพันครั้ง ผลการศึกษาก็จะไม่แม่นยำและไม่ได้รับการยอมรับ

ในอดีตเคยมีสถิติการโยนเหรียญเพื่อดูความถี่ของการหงายทั้งก้อยและหัวว่าเท่ากันหรือไม่ แต่สูงสุดที่มีการบันทึกไว้ก็เพียง 40,000 ครั้งเท่านั้น นิตยสาร Scientific American (ฉบับ ม.ค.2567) ระบุว่าล่าสุดมีผู้ดำเนินการให้มีการโยนเหรียญเป็นแสนๆ ครั้งแล้ว และได้ผลที่น่าตื่นตาตื่นใจ 

František Bartoš นักศึกษาปริญญาเอกด้านวิธีการวิจัยจิตวิทยาที่ The University of Amsterdam ใช้อาสาสมัคร 47 คน จาก 6 ประเทศ โยนเหรียญอยู่หลายวันหยุดเสาร์อาทิตย์ และมีอยู่ช่วงหนึ่งใช้เวลา 12 ชั่วโมงรวด รวมแล้วทั้งหมดโยนเหรียญ 350,757 ครั้ง

พบว่าเหรียญจะออกหน้าเดียวกับที่หงายขึ้นก่อนโยน 50.8% ของจำนวนครั้งทั้งหมดที่โยน เมื่อทดลองด้วยการโยนเป็นแสนๆ ครั้งเช่นนี้ จึงสรุปได้เชิงสถิติว่าเกือบ 1% ของการเอนเอียงนั้นมิใด้เกิดจากความบังเอิญอย่างแน่นอน

ผลเช่นนี้หมายความว่าถึงจะเป็น fair coin ก็มิได้ให้ผลของการโยนเหรียญเป็น 50-50 หรือทั้งสองด้านมีโอกาสหงายเท่ากันคือ 50% ด้านที่มีโอกาสหงายมากกว่าถึงแม้จะน้อยเพียงเกือบ 1% ก็คือด้านที่หงายขึ้นก่อนโยน 

ใครที่รู้ความจริงนี้ย่อมได้เปรียบแม้สักเล็กน้อยมากยามที่ต้องเลือกด้านของเหรียญ โดยเลือกด้านที่หงายขึ้นก่อนโยน หากเป็นกรรมการที่ต้องการความเป็นธรรมไม่ให้ใครได้เปรียบเหนือใครก็ต้องปิดไม่ให้เห็นด้านของเหรียญที่หงายขึ้นก่อนโยน

คำถามคือเหตุใดจึงไม่เป็น 50-50 ดังที่เคยเข้าใจกันมาเนิ่นนาน? คำตอบหนึ่งที่น่าสนใจมาจากการศึกษาด้านฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัย Stanford ในปี 2550 โดยนักสถิติชื่อ Persi Diaconis การคำนวณทางฟิสิกส์ของเขาพยากรณ์เช่นกันว่า การโยนเหรียญไม่ใช่ออก 50-50 หากมีทางโน้มที่ด้านหนึ่งจะออกถึง 51% 

คำอธิบายก็คือเมื่อเหรียญถูกดีดขึ้นไปในอากาศด้วยวิธีที่ชอบทำกันคือวางเหรียญบนนิ้วชี้ และใช้หัวแม่โป้งดีดให้หมุนลอยขึ้น แนววิถีการพุ่งขึ้นพร้อมกับเหรียญหมุนตัวนั้น สามารถนำมาคำนวณได้ด้วยกฎกลศาสตร์ว่าจะออกหัวหรือก้อย

ผู้วิจัยอธิบายว่าเหรียญที่ลอยขึ้นไปนั้นมิได้หมุนตัวตามแกนสมมาตร (symmetrical axis) หากมีทางโน้มที่จะสั่นโอนเอนออกไปจากศูนย์กลาง 

จึงเป็นสาเหตุที่ทำให้ด้านที่หงายขึ้นก่อนโยน มีเวลาหงายอยู่ในอากาศนานกว่าเล็กน้อย จนทำให้ผลเอนเอียงไปทางด้านนี้ที่จะหงายขึ้นในที่สุด

สรุปก็คือผลจากการทดลองจริงกับผลจากการคำนวณทางฟิสิกส์ให้ผลตรงกันคือ ไม่ใช่ 50-50 โดยเอนเอียงด้านหนึ่งเล็กน้อยประมาณ 1% และด้านที่ได้เปรียบคือด้านที่หงายขึ้นก่อนโยน 

สำหรับคนเดินถนน คำอธิบายของการไม่ใช่ 50-50 ก็คือเหรียญโดยธรรมชาติมันไม่สมมาตรกันทั้งสองด้าน รวมทั้งการผลิตหรือการสึกหรอจากการใช้อาจทำให้ด้านใดด้านหนึ่งมีโอกาสหงายมากกว่าอีกด้านเป็นพิเศษ

นอกจากนี้ ลักษณะการโยน เช่น การปั่นบนพื้นเรียบหรือ การดีดหรือการโยนเหรียญขึ้นไปสูงหรือต่ำล้วนมีผลต่อการหงายด้านหนึ่งเป็นพิเศษได้ และพื้นแข็งและอ่อนซึ่งรองรับเหรียญที่ตกลงมาก็อาจมีผลต่อการหงายด้านใดเป็นพิเศษได้เช่นกัน

ความรู้ใหม่ในเรื่องนี้ทำให้เกิดความกังขาขึ้นมาในหลายเรื่อง เช่นที่บอกว่าพกมะนาวไปกับตัวแล้วงูจะไม่กัด มะนาวรักษาและป้องกันมะเร็งทุกชนิด ดื่มแอลกอฮอล์แต่พอเหมาะแล้วจะดีต่อสุขภาพ ไขมันหมูดีต่อสุขภาพ ฯลฯ 

เรื่อง 50-50 นี้เตือนให้นึกถึง “กาลามสูตร” ซึ่งสมเด็จพระพุทธโฆษาจารย์ (ป.อ.ปยุตฺโต) กล่าวว่า “.....พระพุทธเจ้าตรัสสอนไม่ให้เชื่องมงายไร้เหตุผลตามหลัก 10 ข้อ คือ

อย่าปลงใจเชื่อด้วยการฟังตามกันมา, ด้วยการถือสืบๆ กันมา, ด้วยการเล่าลือ, ด้วยการอ้างตำราหรือคัมภีร์, ด้วยตรรกะ, ด้วยการอนุมาน, ด้วยการคิดตรองตามแนวเหตุผล, เพราะเข้ากันได้กับทฤษฎีของตน, เพราะมองเห็นรูปลักษณ์น่าเชื่อ, เพราะนับถือว่าท่านสมณะนี้เป็นครูของเรา..."